從查找算法中可以看出， 在B- 樹中進行查找包含兩種基本操作:

( 1) 在B- 樹中查找結(jié)點；

( 2) 在結(jié)點中查找關(guān)鍵字。

由于B- 樹通常存儲在磁盤上， 則前一查找操作是在磁盤上進行的， 而后一查找操作是在內(nèi)存中進行的， 即在磁盤上找到指針p 所指結(jié)點后， 先將結(jié)點中的信息讀入內(nèi)存， 然后再利用順序查找或折半查找查詢等于K 的關(guān)鍵字。顯然， 在磁盤上進行一次查找比在內(nèi)存中進行一次查找的時間消耗多得多.

因此， 在磁盤上進行查找的次數(shù)、即待查找關(guān)鍵字所在結(jié)點在B- 樹上的層次樹， 是決定B樹查找效率的首要因素

那么，對含有n 個關(guān)鍵碼的m 階B-樹，最壞情況下達到多深呢？可按二叉平衡樹進行類似分析。首先，討論m 階B-數(shù)各層上的最少結(jié)點數(shù)。

由B樹定義：B樹包含n個關(guān)鍵字。因此有n+1個樹葉都在第J+1 層。

1）第一層為根，至少一個結(jié)點，根至少有兩個孩子，因此在第二層至少有兩個結(jié)點。

2）除根和樹葉外，其它結(jié)點至少有[m/2]個孩子,因此第三層至少有2*[m/2]個結(jié)點,在第四層至少有2*[m/2]2 個結(jié)點…

3）那么在第J+1層至少有2*[m/2]J-1個結(jié)點,而J+1層的結(jié)點為葉子結(jié)點,于是葉子結(jié)點的個數(shù)n+1。有：

也就是說在n個關(guān)鍵字的B樹查找，從根節(jié)點到關(guān)鍵字所在的節(jié)點所涉及的節(jié)點數(shù)不超過：

3.B-樹的插入

B-樹的生成也是從空樹起，逐個插入關(guān)鍵字而得。但由于B-樹結(jié)點中的關(guān)鍵字個數(shù)必須≥ceil(m／2)-1，因此，每次插入一個關(guān)鍵字不是在樹中添加一個葉子結(jié)點，而是首先在最低層的某個非終端結(jié)點中添加一個關(guān)鍵字，若該結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)不超過m-1，則插入完成，否則要產(chǎn)生結(jié)點的“分裂”，

如圖（a） 為3階的B-樹(圖中略去F結(jié)點(即葉子結(jié)點))，假設(shè)需依次插入關(guān)鍵字30，26，85。

1) 首先通過查找確定插入的位置。由根*a 起進行查找，確定30應(yīng)插入的在*d 節(jié)點中。由于*d 中關(guān)鍵字數(shù)目不超過2（即m-1），故第一個關(guān)鍵字插入完成：如（b）

2) 同樣，通過查找確定關(guān)鍵字26亦應(yīng)插入 *d. 由于*d節(jié)點關(guān)鍵字數(shù)目超過2，此時需要將 *d分裂成兩個節(jié)點，關(guān)鍵字26及其前、后兩個指針仍保留在 *d 節(jié)點中，而關(guān)鍵字37 及其前、后兩個指針存儲到新的產(chǎn)生的節(jié)點 *d` 中。同時將關(guān)鍵字30 和指示節(jié)點 *d `的指針插入到其雙親的節(jié)點中。由于 *b節(jié)點中的關(guān)鍵字數(shù)目沒有超過2，則插入完成.如（c）(d)

3) (e) -(g) 為插入85后;

插入算法：

反之，若在B-樹上刪除一個關(guān)鍵字，則首先應(yīng)找到該關(guān)鍵字所在結(jié)點，并從中刪除之，若該結(jié)點為最下層的非終端結(jié)點，且其中的關(guān)鍵字數(shù)目不少于ceil(m/2)，則刪除完成，否則要進行“合并”結(jié)點的操作。假若所刪關(guān)鍵字為非終端結(jié)點中的Ki，則可以指針Ai所指子樹中的最小關(guān)鍵字Y替代Ki，然后在相應(yīng)的結(jié)點中刪去Y。例如，在下圖 圖4.1( a)的B-樹上刪去45，可以*f結(jié)點中的50替代45，然后在*f結(jié)點中刪去50。

圖4.1( a)

因此，下面我們可以只需討論刪除最下層非終端結(jié)點中的關(guān)鍵字的情形。有下列三種可能：

(1)被刪關(guān)鍵字所在結(jié)點中的關(guān)鍵字數(shù)目不小于ceil(m/2)，則只需從該結(jié)點中刪去該關(guān)鍵字Ki和相應(yīng)指針Ai，樹的其它部分不變，例如，從圖 圖4.1( a)所示B-樹中刪去關(guān)鍵字12，刪除后的B-樹如圖 圖4.2( a)所示：

圖4.2( a)

(2)被刪關(guān)鍵字所在結(jié)點中的關(guān)鍵字數(shù)目等于ceil(m/2)-1，而與該結(jié)點相鄰的右兄弟(或左兄弟)結(jié)點中的關(guān)鍵字數(shù)目大于ceil(m/2)-1，則需將其兄弟結(jié)點中的最小(或最大)的關(guān)鍵字上移至雙親結(jié)點中，而將雙親結(jié)點中小于(或大于)且緊靠該上移關(guān)鍵字的關(guān)鍵字下移至被刪關(guān)鍵字所在結(jié)點中。

[例如]，從圖圖4.2( a)中刪去50，需將其右兄弟結(jié)點中的61上移至*e結(jié)點中，而將*e結(jié)點中的53移至*f，從而使*f和*g中關(guān)鍵字數(shù)目均不小于ceil(m-1)-1，而雙親結(jié)點中的關(guān)鍵字數(shù)目不變，如圖圖4.2(b)所示。

圖4.2(b)

(3)被刪關(guān)鍵字所在結(jié)點和其相鄰的兄弟結(jié)點中的關(guān)鍵字數(shù)目均等于ceil(m/2)-1。假設(shè)該結(jié)點有右兄弟，且其右兄弟結(jié)點地址由雙親結(jié)點中的指針Ai所指，則在刪去關(guān)鍵字之后，它所在結(jié)點中剩余的關(guān)鍵字和指針，加上雙親結(jié)點中的關(guān)鍵字Ki一起，合并到 Ai所指兄弟結(jié)點中(若沒有右兄弟，則合并至左兄弟結(jié)點中)。

[例如]，從圖4.2(b)所示 B-樹中刪去53，則應(yīng)刪去*f結(jié)點，并將*f中的剩余信息(指針“空”)和雙親*e結(jié)點中的 61一起合并到右兄弟結(jié)點*g中。刪除后的樹如圖4.2(c)所示。

圖4.2(c)

如果因此使雙親結(jié)點中的關(guān)鍵字數(shù)目小于ceil(m/2)-1，則依次類推。

[例如]，在 圖4.2(c)的B-樹中刪去關(guān)鍵字37之后，雙親b結(jié)點中剩余信息(“指針c”)應(yīng)和其雙親*a結(jié)點中關(guān)鍵字45一起合并至右兄弟結(jié)點*e中，刪除后的B-樹如圖 4.2(d)所示。

圖 4.2(d)

B-樹主要應(yīng)用在文件系統(tǒng)

為了將大型數(shù)據(jù)庫文件存儲在硬盤上 以減少訪問硬盤次數(shù)為目的 在此提出了一種平衡多路查找樹——B-樹結(jié)構(gòu) 由其性能分析可知它的檢索效率是相當高的 為了提高 B-樹性能'還有很多種B-樹的變型，力圖對B-樹進行改進

1. 索引在數(shù)據(jù)庫中的作用

在數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)的使用過程當中，數(shù)據(jù)的查詢是使用最頻繁的一種數(shù)據(jù)操作。

最基本的查詢算法當然是順序查找（linear search），遍歷表然后逐行匹配行值是否等于待查找的關(guān)鍵字，其時間復(fù)雜度為O（n）。但時間復(fù)雜度為O（n）的算法規(guī)模小的表，負載輕的數(shù)據(jù)庫，也能有好的性能。 但是數(shù)據(jù)增大的時候，時間復(fù)雜度為O（n）的算法顯然是糟糕的，性能就很快下降了。

好在計算機科學(xué)的發(fā)展提供了很多更優(yōu)秀的查找算法，例如二分查找（binary search）、二叉樹查找（binary tree search）等。如果稍微分析一下會發(fā)現(xiàn)，每種查找算法都只能應(yīng)用于特定的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)之上，例如二分查找要求被檢索數(shù)據(jù)有序，而二叉樹查找只能應(yīng)用于二叉查找樹上，但是數(shù)據(jù)本身的組織結(jié)構(gòu)不可能完全滿足各種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（例如，理論上不可能同時將兩列都按順序進行組織），所以，在數(shù)據(jù)之外，數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)還維護著滿足特定查找算法的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，這些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)以某種方式引用（指向）數(shù)據(jù)，這樣就可以在這些數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)上實現(xiàn)高級查找算法。這種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，就是索引。

索引是對數(shù)據(jù)庫表 中一個或多個列的值進行排序的結(jié)構(gòu)。與在表 中搜索所有的行相比，索引用指針 指向存儲在表中指定列的數(shù)據(jù)值，然后根據(jù)指定的次序排列這些指針，有助于更快地獲取信息。通常情 況下 ，只有當經(jīng)常查詢索引列中的數(shù)據(jù)時 ，才需要在表上創(chuàng)建索引。索引將占用磁盤空間，并且影響數(shù) 據(jù)更新的速度。但是在多數(shù)情況下 ，索引所帶來的數(shù)據(jù)檢索速度優(yōu)勢大大超過它的不足之處。

2. B+樹在數(shù)據(jù)庫索引中的應(yīng)用

目前大部分數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)及文件系統(tǒng)都采用B-Tree或其變種B+Tree作為索引結(jié)構(gòu)

1）在數(shù)據(jù)庫索引的應(yīng)用

在數(shù)據(jù)庫索引的應(yīng)用中，B+樹按照下列方式進行組織 ：

① 葉結(jié)點的組織方式 。B+樹的查找鍵 是數(shù)據(jù)文件的主鍵 ，且索引是稠密的。也就是說 ，葉結(jié)點 中為數(shù)據(jù)文件的第一個記錄設(shè)有一個鍵、指針對 ，該數(shù)據(jù)文件可以按主鍵排序，也可以不按主鍵排序 ；數(shù)據(jù)文件按主鍵排序，且 B +樹是稀疏索引 ， 在葉結(jié)點中為數(shù)據(jù)文件的每一個塊設(shè)有一個鍵、指針對 ；數(shù)據(jù)文件不按鍵屬性排序 ，且該屬性是 B +樹 的查找鍵 ， 葉結(jié)點中為數(shù)據(jù)文件里出現(xiàn)的每個屬性K設(shè)有一個鍵 、 指針對 ， 其中指針執(zhí)行排序鍵值為 K的 記錄中的第一個。

② 非葉結(jié)點 的組織方式。B+樹 中的非葉結(jié)點形成 了葉結(jié)點上的一個多級稀疏索引。 每個非葉結(jié)點中至少有ceil( m/2 ) 個指針 ， 至多有 m 個指針 。

2）B+樹索引的插入和刪除

①在向數(shù)據(jù)庫中插入新的數(shù)據(jù)時，同時也需要向數(shù)據(jù)庫索引中插入相應(yīng)的索引鍵值 ，則需要向 B+樹 中插入新的鍵值。即上面我們提到的B-樹插入算法。

②當從數(shù)據(jù)庫中刪除數(shù)據(jù)時，同時也需要從數(shù)據(jù)庫索引中刪除相應(yīng)的索引鍵值 ，則需要從 B+樹 中刪 除該鍵值 。即B-樹刪除算法

為什么使用B-Tree（B+Tree）

二叉查找樹進化品種的紅黑樹等數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)也可以用來實現(xiàn)索引，但是文件系統(tǒng)及數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)普遍采用B-/+Tree作為索引結(jié)構(gòu)。

　一般來說，索引本身也很大，不可能全部存儲在內(nèi)存中，因此索引往往以索引文件的形式存儲的磁盤上。這樣的話，索引查找過程中就要產(chǎn)生磁盤I/O消耗，相對于內(nèi)存存取，I/O存取的消耗要高幾個數(shù)量級，所以評價一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)作為索引的優(yōu)劣最重要的指標就是在查找過程中磁盤I/O操作次數(shù)的漸進復(fù)雜度。換句話說，索引的結(jié)構(gòu)組織要盡量減少查找過程中磁盤I/O的存取次數(shù)。為什么使用B-/+Tree，還跟磁盤存取原理有關(guān)。

局部性原理與磁盤預(yù)讀

　　由于存儲介質(zhì)的特性，磁盤本身存取就比主存慢很多，再加上機械運動耗費，磁盤的存取速度往往是主存的幾百分分之一，因此為了提高效率，要盡量減少磁盤I/O。為了達到這個目的，磁盤往往不是嚴格按需讀取，而是每次都會預(yù)讀，即使只需要一個字節(jié)，磁盤也會從這個位置開始，順序向后讀取一定長度的數(shù)據(jù)放入內(nèi)存。這樣做的理論依據(jù)是計算機科學(xué)中著名的局部性原理：

　　當一個數(shù)據(jù)被用到時，其附近的數(shù)據(jù)也通常會馬上被使用。

　　程序運行期間所需要的數(shù)據(jù)通常比較集中。

　　由于磁盤順序讀取的效率很高（不需要尋道時間，只需很少的旋轉(zhuǎn)時間），因此對于具有局部性的程序來說，預(yù)讀可以提高I/O效率。

　　預(yù)讀的長度一般為頁（page）的整倍數(shù)。頁是計算機管理存儲器的邏輯塊，硬件及操作系統(tǒng)往往將主存和磁盤存儲區(qū)分割為連續(xù)的大小相等的塊，每個存儲塊稱為一頁（在許多操作系統(tǒng)中，頁得大小通常為4k），主存和磁盤以頁為單位交換數(shù)據(jù)。當程序要讀取的數(shù)據(jù)不在主存中時，會觸發(fā)一個缺頁異常，此時系統(tǒng)會向磁盤發(fā)出讀盤信號，磁盤會找到數(shù)據(jù)的起始位置并向后連續(xù)讀取一頁或幾頁載入內(nèi)存中，然后異常返回，程序繼續(xù)運行。

我們上面分析B-/+Tree檢索一次最多需要訪問節(jié)點：

h =

數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)巧妙利用了磁盤預(yù)讀原理，將一個節(jié)點的大小設(shè)為等于一個頁，這樣每個節(jié)點只需要一次I/O就可以完全載入。為了達到這個目的，在實際實現(xiàn)B- Tree還需要使用如下技巧：

每次新建節(jié)點時，直接申請一個頁的空間，這樣就保證一個節(jié)點物理上也存儲在一個頁里，加之計算機存儲分配都是按頁對齊的，就實現(xiàn)了一個node只需一次I/O。

　　B-Tree中一次檢索最多需要h-1次I/O（根節(jié)點常駐內(nèi)存），漸進復(fù)雜度為O（h）=O（logmN）。一般實際應(yīng)用中，m是非常大的數(shù)字，通常超過100，因此h非常�。ㄍǔ２怀�過3）。

　　綜上所述，用B-Tree作為索引結(jié)構(gòu)效率是非常高的。

　　而紅黑樹這種結(jié)構(gòu)，h明顯要深的多。由于邏輯上很近的節(jié)點（父子）物理上可能很遠，無法利用局部性，所以紅黑樹的I/O漸進復(fù)雜度也為O（h），效率明顯比B-Tree差很多。

在 MySQL 中，主要有四種類型的索引，分別為： B-Tree 索引， Hash 索引， Fulltext 索引和 R-Tree 索引。我們主要分析B-Tree 索引。

B-Tree 索引是 MySQL 數(shù)據(jù)庫中使用最為頻繁的索引類型，除了 Archive 存儲引擎之外的其他所有的存儲引擎都支持 B-Tree 索引。Archive 引擎直到 MySQL 5.1 才支持索引，而且只支持索引單個 AUTO_INCREMENT 列。

不僅僅在 MySQL 中是如此，實際上在其他的很多數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)中B-Tree 索引也同樣是作為最主要的索引類型，這主要是因為 B-Tree 索引的存儲結(jié)構(gòu)在數(shù)據(jù)庫的數(shù)據(jù)檢索中有非常優(yōu)異的表現(xiàn)。

一般來說， MySQL 中的 B-Tree 索引的物理文件大多都是以 Balance Tree 的結(jié)構(gòu)來存儲的，也就是所有實際需要的數(shù)據(jù)都存放于 Tree 的 Leaf Node(葉子節(jié)點) ，而且到任何一個 Leaf Node 的最短路徑的長度都是完全相同的，所以我們大家都稱之為 B-Tree 索引。當然，可能各種數(shù)據(jù)庫（或 MySQL 的各種存儲引擎）在存放自己的 B-Tree 索引的時候會對存儲結(jié)構(gòu)稍作改造。如 Innodb 存儲引擎的 B-Tree 索引實際使用的存儲結(jié)構(gòu)實際上是 B+Tree，也就是在 B-Tree 數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上做了很小的改造，在每一個Leaf Node 上面出了存放索引鍵的相關(guān)信息之外，還存儲了指向與該 Leaf Node 相鄰的后一個 LeafNode 的指針信息（增加了順序訪問指針），這主要是為了加快檢索多個相鄰 Leaf Node 的效率考慮。

下面主要討論MyISAM和InnoDB兩個存儲引擎的索引實現(xiàn)方式：

1）主鍵索引：

MyISAM引擎使用B+Tree作為索引結(jié)構(gòu)，葉節(jié)點的data域存放的是數(shù)據(jù)記錄的地址。下圖是MyISAM主鍵索引的原理圖：

（圖myisam1）

這里設(shè)表一共有三列，假設(shè)我們以Col1為主鍵，圖myisam1是一個MyISAM表的主索引（Primary key）示意。可以看出MyISAM的索引文件僅僅保存數(shù)據(jù)記錄的地址。

2）輔助索引（Secondary key）

在MyISAM中，主索引和輔助索引（Secondary key）在結(jié)構(gòu)上沒有任何區(qū)別，只是主索引要求key是唯一的，而輔助索引的key可以重復(fù)。如果我們在Col2上建立一個輔助索引，則此索引的結(jié)構(gòu)如下圖所示：

同樣也是一顆B+Tree，data域保存數(shù)據(jù)記錄的地址。因此，MyISAM中索引檢索的算法為首先按照B+Tree搜索算法搜索索引，如果指定的Key存在，則取出其data域的值，然后以data域的值為地址，讀取相應(yīng)數(shù)據(jù)記錄。

MyISAM的索引方式也叫做“非聚集”的，之所以這么稱呼是為了與InnoDB的聚集索引區(qū)分。

然InnoDB也使用B+Tree作為索引結(jié)構(gòu)，但具體實現(xiàn)方式卻與MyISAM截然不同.

1）主鍵索引：

MyISAM索引文件和數(shù)據(jù)文件是分離的，索引文件僅保存數(shù)據(jù)記錄的地址。而在InnoDB中，表數(shù)據(jù)文件本身就是按B+Tree組織的一個索引結(jié)構(gòu)，這棵樹的葉節(jié)點data域保存了完整的數(shù)據(jù)記錄。這個索引的key是數(shù)據(jù)表的主鍵，因此InnoDB表數(shù)據(jù)文件本身就是主索引。

(圖inndb主鍵索引）

(圖inndb主鍵索引）是InnoDB主索引（同時也是數(shù)據(jù)文件）的示意圖，可以看到葉節(jié)點包含了完整的數(shù)據(jù)記錄。這種索引叫做聚集索引。因為InnoDB的數(shù)據(jù)文件本身要按主鍵聚集，所以InnoDB要求表必須有主鍵（MyISAM可以沒有），如果沒有顯式指定，則MySQL系統(tǒng)會自動選擇一個可以唯一標識數(shù)據(jù)記錄的列作為主鍵，如果不存在這種列，則MySQL自動為InnoDB表生成一個隱含字段作為主鍵，這個字段長度為6個字節(jié)，類型為長整形。

2）. InnoDB的輔助索引

InnoDB的所有輔助索引都引用主鍵作為data域。例如，下圖為定義在Col3上的一個輔助索引：

InnoDB 表是基于聚簇索引建立的。因此InnoDB 的索引能提供一種非常快速的主鍵查找性能。不過，它的輔助索引（Secondary Index， 也就是非主鍵索引）也會包含主鍵列，所以，如果主鍵定義的比較大，其他索引也將很大。如果想在表上定義 、很多索引，則爭取盡量把主鍵定義得小一些。InnoDB 不會壓縮索引。

文字符的ASCII碼作為比較準則。聚集索引這種實現(xiàn)方式使得按主鍵的搜索十分高效，但是輔助索引搜索需要檢索兩遍索引：首先檢索輔助索引獲得主鍵，然后用主鍵到主索引中檢索獲得記錄。

不同存儲引擎的索引實現(xiàn)方式對于正確使用和優(yōu)化索引都非常有幫助，例如知道了InnoDB的索引實現(xiàn)后，就很容易明白為什么不建議使用過長的字段作為主鍵，因為所有輔助索引都引用主索引，過長的主索引會令輔助索引變得過大。再例如，用非單調(diào)的字段作為主鍵在InnoDB中不是個好主意，因為InnoDB數(shù)據(jù)文件本身是一顆B+Tree，非單調(diào)的主鍵會造成在插入新記錄時數(shù)據(jù)文件為了維持B+Tree的特性而頻繁的分裂調(diào)整，十分低效，而使用自增字段作為主鍵則是一個很好的選擇。

InnoDB索引和MyISAM索引的區(qū)別：

一是主索引的區(qū)別，InnoDB的數(shù)據(jù)文件本身就是索引文件。而MyISAM的索引和數(shù)據(jù)是分開的。

二是輔助索引的區(qū)別：InnoDB的輔助索引data域存儲相應(yīng)記錄主鍵的值而不是地址。而MyISAM的輔助索引和主索引沒有多大區(qū)別。